En Geometría Diferencial, el estudio de curvas y superficies es fundamental para comprender las propiedades geométricas y analíticas de los objetos en espacios continuos. Se utilizan herramientas del cálculo diferencial para analizar su curvatura, torsión y otras propiedades intrínsecas.
1. Curvas en el Espacio
Una curva en \(\mathbb{R}^n\) es una función vectorial diferenciable de la forma: $$ \Large \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $$
donde \(t\) es un parámetro real.
1.1. Longitud de una Curva
La longitud de una curva parametrizada en el intervalo \([a, b]\) se calcula con: $$ \Large L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\| dt $$
donde \(\mathbf{r}'(t)\) es la derivada de la función vectorial.
1.2. Curvatura y Torsión
- Curvatura (\(\kappa\)): mide cuánto se desvía una curva de ser una línea recta. Se define como:
$$ \Large \kappa = \frac{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}»(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3} $$
- Torsión (\(\tau\)): mide el cambio de dirección del plano osculador a lo largo de la curva:
$$ \Large \tau = \frac{(\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}»(t)) \cdot \mathbf{r}»'(t)}{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}»(t)\|^2} $$
2. Superficies en el Espacio
Una superficie en \(\mathbb{R}^3\) se define por una función vectorial de dos parámetros: $$ \Large \mathbf{X}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) $$
2.1. Primer y Segundo Forma Fundamental
La primera forma fundamental mide distancias sobre la superficie: $$ \Large ds^2 = E du^2 + 2F dudv + G dv^2 $$
donde: $$ \Large E = \mathbf{X}_u \cdot \mathbf{X}_u, \quad F = \mathbf{X}_u \cdot \mathbf{X}_v, \quad G = \mathbf{X}_v \cdot \mathbf{X}_v $$
La segunda forma fundamental mide la curvatura de la superficie: $$ \Large II = L du^2 + 2M dudv + N dv^2 $$
donde: $$ \Large L = \mathbf{X}_{uu} \cdot \mathbf{N}, \quad M = \mathbf{X}_{uv} \cdot \mathbf{N}, \quad N = \mathbf{X}_{vv} \cdot \mathbf{N} $$
siendo \(\mathbf{N}\) el vector normal unitario.
2.2. Curvaturas de una Superficie
- Curvatura media (\(H\)):
$$ \Large H = \frac{k_1 + k_2}{2} $$
- Curvatura gaussiana (\(K\)):
$$ \Large K = k_1 k_2 $$
donde \(k_1, k_2\) son las curvaturas principales.
3. Clasificación de Superficies
- Superficies regladas: generadas por el movimiento de una recta (ejemplo: hiperboloide).
- Superficies de revolución: obtenidas al girar una curva en torno a un eje (ejemplo: esfera, toro).
- Superficies mínimas: minimizan el área localmente (ejemplo: catenoide).
Conclusión
El estudio de curvas y superficies en Geometría Diferencial permite comprender la estructura y las propiedades de los objetos en el espacio, con aplicaciones en física, ingeniería y gráficos computacionales.