Las coordenadas cartesianas son fundamentales en la Geometría Analítica, ya que permiten representar puntos y figuras en el plano mediante pares ordenados y ecuaciones algebraicas.
1. El Sistema de Coordenadas Cartesianas
El plano cartesiano está compuesto por dos ejes perpendiculares:
- Eje \(x\) (abscisas): Representa la posición horizontal.
- Eje \(y\) (ordenadas): Representa la posición vertical.
Cada punto en el plano se denota como: $$ \Large P(x, y) $$
donde \(x\) es la coordenada horizontal y \(y\) la coordenada vertical.
2. Distancia entre Dos Puntos
La distancia entre dos puntos \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) en el plano cartesiano se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras: $$ \Large d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} $$
3. Punto Medio de un Segmento
El punto medio de un segmento con extremos en \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) se obtiene promediando las coordenadas: $$ \Large M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$
4. Ecuación de la Recta
La ecuación de la recta en el plano cartesiano tiene varias formas.
Forma Pendiente-Ordenada al Origen
Si la recta tiene pendiente mm y pasa por el origen, su ecuación es: $$ \Large y = mx $$
Si pasa por un punto (x0,y0)(x_0, y_0), la ecuación es: $$ \Large y – y_0 = m(x – x_0) $$
La pendiente mm se calcula como: $$ \Large m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $$
Forma General de la Recta
$$ \Large Ax + By + C = 0 $$
donde \(A, B, C\) son constantes.
5. Circunferencia en el Plano Cartesiano
La ecuación de una circunferencia con centro en \((h, k)\) y radio \(r\) es: $$ \Large (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 $$
Si la circunferencia está centrada en el origen, la ecuación se simplifica a: $$ \Large x^2 + y^2 = r^2 $$
6. Aplicación Algebraica de las Coordenadas Cartesianas
Las coordenadas cartesianas permiten resolver problemas algebraicos como:
- Encontrar intersecciones de figuras geométricas mediante sistemas de ecuaciones.
- Determinar condiciones de perpendicularidad y paralelismo de rectas.
- Calcular áreas y volúmenes mediante coordenadas y determinantes.
Conclusión
El sistema de coordenadas cartesianas es una herramienta esencial en la Geometría Analítica, permitiendo representar ecuaciones geométricas de manera algebraica y resolver problemas espaciales con precisión.