Las construcciones geométricas en Geometría Euclidiana consisten en la creación de figuras utilizando únicamente una regla sin graduaciones y un compás. Estas construcciones tienen una conexión fundamental con el álgebra, ya que permiten representar y resolver ecuaciones mediante procedimientos geométricos.
1. Principios de las Construcciones Geométricas
Las construcciones en geometría clásica deben seguir dos reglas:
- Usar solo regla y compás.
- No realizar mediciones numéricas, solo intersecciones y trazados.
Las construcciones más comunes incluyen:
- División de segmentos.
- Creación de polígonos regulares.
- Construcción de tangentes y perpendiculares.
2. Construcción de Elementos Básicos
División de un Segmento en una Razón Dada
Dado un segmento \(AB\) y una razón \(r\), podemos dividirlo en esa proporción mediante una construcción geométrica. Algebraicamente, esto equivale a encontrar un punto \(P\) en \(AB\) tal que: $$ \Large \frac{AP}{PB} = r $$
Esto es útil en la resolución gráfica de ecuaciones y en el estudio de proporciones.
Construcción de la Mediatriz de un Segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Para construirla:
- Con el compás, trazamos circunferencias con centros en los extremos del segmento y radio mayor que su mitad.
- La intersección de estas circunferencias define la mediatriz.
Algebraicamente, la mediatriz de un segmento cuyos extremos son \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) es la recta: $$ \Large y – \frac{y_1 + y_2}{2} = -\frac{x_2 – x_1}{y_2 – y_1} (x – \frac{x_1 + x_2}{2}) $$
Construcción de la Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales. Su ecuación algebraica en coordenadas cartesianas es obtenida mediante la distancia entre puntos: $$ \Large \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|Dx + Ey + F|}{\sqrt{D^2 + E^2}} $$
3. Construcción de Figuras Geométricas
Construcción de un Triángulo Dado Lados (LLL)
Si conocemos tres longitudes, podemos construir un triángulo siguiendo estos pasos:
- Dibujar un segmento base de longitud dada.
- Usar el compás para marcar los otros dos lados con sus longitudes desde cada extremo del segmento base.
- La intersección de los dos arcos define el tercer vértice del triángulo.
Esta construcción está relacionada con la solución de ecuaciones cuadráticas al aplicar el Teorema de Pitágoras.
Construcción de un Cuadrado con una Longitud Dada
- Trazar un segmento base.
- Construir una perpendicular en un extremo.
- Usar el compás para marcar las longitudes.
- Completar los lados con intersecciones.
El cuadrado es fundamental en álgebra, ya que su área se expresa como \(s^2\), lo que vincula la construcción con expresiones cuadráticas.
4. Relación con el Álgebra
Las construcciones geométricas permiten resolver ecuaciones de manera visual. Algunos ejemplos incluyen:
- Solución de ecuaciones cuadráticas:
- La intersección de una mediatriz con un eje puede representar la raíz de una ecuación.
- Proporciones y semejanza:
- La división de un segmento en una razón dada modela ecuaciones de primer grado.
- Ecuaciones de circunferencia y rectas:
- La construcción de una perpendicular en un punto permite encontrar ecuaciones de tangentes.
5. Ejemplo Práctico
Construcción de la intersección de dos circunferencias
Si tenemos dos circunferencias de ecuaciones: $$ \Large (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 $$ $$ \Large (x−c)2+(y−d)2=s2$$ $$ \Large (x – c)^2 + (y – d)^2 = s^2 $$
Podemos resolver algebraicamente su intersección mediante sistemas de ecuaciones, pero geométricamente se obtiene mediante trazado con regla y compás.
Conclusión
Las construcciones geométricas son herramientas esenciales en la Geometría Euclidiana, y su relación con el álgebra permite visualizar soluciones de ecuaciones y representar relaciones matemáticas de manera precisa.