Compactación y Ultraproductos en Teoría de Modelos
Compactación en Lógica Matemática
El teorema de compactación es un resultado fundamental en teoría de modelos que establece que si cada subconjunto finito de un conjunto de fórmulas es satisfactible, entonces el conjunto completo también es satisfactible. Formalmente:
$$ \Large \text{Si para todo } \Gamma’ \subseteq \Gamma \text{ finito, } \Gamma’ \text{ es satisfactible, entonces } \Gamma \text{ es satisfactible.} $$
Este teorema es una consecuencia directa de la completud de Henkin y es esencial en la construcción de modelos no-estándar.
Construcción de Ultraproductos
Dado un conjunto de estructuras \(\{ \mathcal{M}_i \}_{i \in I}\) y un ultrafiltro \(\mathcal{U}\) sobre el índice \(I\), el ultraproducto es la estructura:
$$ \Large \prod_{i \in I} \mathcal{M}_i / \mathcal{U}. $$
Se define el conjunto universo como:
$$ \Large \prod_{i \in I} M_i = \{ f: I \to \bigcup_{i \in I} M_i \mid f(i) \in M_i \text{ para todo } i \in I \}. $$
Dos funciones \(f, g\) son equivalentes módulo \(\mathcal{U}\) si:
$$ \Large \{ i \in I \mid f(i) = g(i) \} \in \mathcal{U}. $$
Los ultraproductos permiten construir modelos elementales y probar propiedades de transferencias de teorías matemáticas.
Aplicaciones en Teoría de Modelos
- Demostración de élásticos en clases elementales.
- Transferencia de propiedades modeloteóricas: si una fórmula se satisface en casi todos los modelos de una familia, también se satisface en el ultraproducto.
- Construcción de modelos no-estándar como en la teoría de los números hiperreales.
Los ultraproductos y el teorema de compactación juegan un papel crucial en la demostración de la completud de teorías y en la caracterización de la elementariedad de modelos.