Cerraduras, Interiores y Fronteras en Fundamentos de la Topología
En la topología, los conceptos de cerradura, interior y frontera de un conjunto permiten describir cómo interactúan los subconjuntos con la estructura topológica de un espacio. Estas nociones son fundamentales para el estudio de la continuidad, la convergencia y la separación en espacios topológicos.
1. Cerradura de un Conjunto
La cerradura de un conjunto \(A\) en un espacio topológico \((X, \tau)\), denotada \(\overline{A}\), es el conjunto más pequeño que contiene a \(A\) y que es cerrado. Formalmente,
$$ \Large \overline{A} = A \cup A’, $$
donde \(A’\) es el conjunto de puntos de acumulación de \(A\), es decir,
$$ \Large A’ = \{ x \in X \mid \forall U \in \tau, x \in U \Rightarrow U \cap A \neq \emptyset \}. $$
En otras palabras, la cerradura de \(A\) es la unión de \(A\) con todos los puntos límite de \(A\).
Propiedades de la Cerradura:
- Si \(A \subseteq B\), entonces \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\).
2. Interior de un Conjunto
El interior de un conjunto \(A\), denotado \(\operatorname{int}(A)\), es el conjunto de todos los puntos de \(A\) que tienen un entorno completamente contenido en \(A\). Matemáticamente,
$$ \Large \operatorname{int}(A) = \bigcup \{ U \in \tau \mid U \subseteq A \}. $$
En otras palabras, \(\operatorname{int}(A)\) es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en \(A\).
Propiedades del Interior:
- \(\operatorname{int}(A) \subseteq A\).
- \(\operatorname{int}(\operatorname{int}(A)) = \operatorname{int}(A) (idempotencia)\).
- Si \(A\) es abierto, entonces \(\operatorname{int}(A) = A\).
- \(\operatorname{int}(A) \cup \partial A = A\).
- Si \(A \subseteq B\), entonces \(\operatorname{int}(A) \subseteq \operatorname{int}(B)\).
3. Frontera de un Conjunto
La frontera de un conjunto \(A\), denotada \(\partial A\), es el conjunto de puntos que están en la cerradura de \(A\) pero no en su interior:
$$ \Large \partial A = \overline{A} \setminus \operatorname{int}(A). $$
Equivalentemente,
$$ \large \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \tau, x \in U \Rightarrow U \cap A \neq \emptyset \text{ y } U \cap A^c \neq \emptyset \}. $$
Esto significa que \(\partial A\) es el conjunto de puntos donde \(A\) «toca» su complemento \(A^c\).
Propiedades de la Frontera:
- \(\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}\).
- \(\partial A\) es un conjunto cerrado.
- \(\partial A = \partial A^c\).
- Si \(A\) es abierto, entonces \(\partial A = \overline{A} \setminus A\).
- Si \(A\) es cerrado, entonces \(\partial A = A \setminus \operatorname{int}(A)\).
4. Relación entre Cerradura, Interior y Frontera
Para cualquier conjunto \(A\), se cumple la relación
$$ \Large \overline{A} = \operatorname{int}(A) \cup \partial A. $$
Además,
$$ \Large \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}. $$
Estos conceptos son esenciales en el análisis de continuidad, compactación y separación dentro de la topología.