En Álgebra Lineal, los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales que se utilizan para analizar las propiedades de las matrices y sus transformaciones lineales asociadas. Estos conceptos tienen aplicaciones importantes en áreas como la física, la ingeniería, la estadística y el aprendizaje automático.
Definición de Autovalores y Autovectores
Un autovector de una matriz cuadrada \(A\) es un vector \(\mathbf{v}\) distinto de cero tal que, al ser multiplicado por la matriz \(A\), el resultado es un múltiplo escalar de sí mismo. Matemáticamente, esto se expresa como: $$ \Large A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$
donde:
- \(A\) es la matriz cuadrada de orden \(n\),
- \(\mathbf{v}\) es el autovector,
- \(\lambda\) es el autovalor correspondiente a \(\mathbf{v}\).
Es decir, la multiplicación de la matriz \(A\) por el autovector \(\mathbf{v}\) da como resultado un vector que es paralelo a \(\mathbf{v}\), pero escalado por el valor \(\lambda\).
Cómo encontrar los Autovalores
Para encontrar los autovalores de una matriz \(A\), debemos resolver el polinomio característico, que se obtiene de la siguiente ecuación: $$ \Large \text{det}(A – \lambda I) = 0 $$
donde:
- \(I\) es la matriz identidad de la misma dimensión que \(A\),
- \(\lambda\) es el autovalor,
- \(\text{det}\) denota el determinante de la matriz.
Al resolver esta ecuación, obtenemos los autovalores \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) de la matriz \(A\).
Cómo encontrar los Autovectores
Una vez que tenemos los autovalores, podemos encontrar los autovectores correspondientes resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$ \Large (A – \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$
Este sistema es homogéneo, y tiene soluciones no triviales solo si \(\lambda\) es un autovalor de \(A\). La solución de este sistema nos da los autovectores asociados a cada autovalor \(\lambda\).
Ejemplo de Autovalores y Autovectores
Supongamos que tenemos la matriz \(A\): $$ \Large A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} $$
Para encontrar los autovalores, primero planteamos el polinomio característico: $$ \Large \text{det}(A – \lambda I) = \text{det}\begin{bmatrix} 4 – \lambda & 1 \\ 2 & 3 – \lambda \end{bmatrix} = (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 2 $$
Desarrollando el determinante: $$ \Large (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 2 = \lambda^2 – 7\lambda + 10 – 2 = \lambda^2 – 7\lambda + 8 $$
Igualamos a cero: $$ \Large \lambda^2 – 7\lambda + 8 = 0 $$
Resolviendo esta ecuación cuadrática: $$ \Large \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2} $$
Así, los autovalores son: $$ \Large \lambda_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{7 – \sqrt{17}}{2} $$
Ahora, para encontrar los autovectores, sustituimos cada autovalor en el sistema \((A – \lambda I) \mathbf{v} = 0\) y resolvemos para \(\mathbf{v}\).
Propiedades de los Autovalores y Autovectores
- Los autovalores de una matriz diagonalizable son los elementos de la diagonal de la matriz.
- Los autovectores correspondientes a autovalores diferentes son linealmente independientes.
- Una matriz tiene tantas soluciones propias (autovectores) como su tamaño, pero algunas de esas soluciones pueden ser cero, dependiendo de la multiplicidad algebraica del autovalor.
- La matriz \(A\) es diagonalizable si tiene un conjunto completo de autovectores linealmente independientes.
Aplicaciones de los Autovalores y Autovectores
Los autovalores y autovectores tienen diversas aplicaciones:
- Análisis de estabilidad: En sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales, los autovalores se utilizan para analizar la estabilidad de soluciones.
- PCA (Análisis de Componentes Principales): En estadística y aprendizaje automático, los autovectores son usados para reducir la dimensionalidad de datos, maximizando la varianza de las proyecciones.
- Mecánica cuántica: Los autovalores y autovectores son esenciales en la mecánica cuántica para describir los estados de energía de un sistema.
