La aritmética en diferentes sistemas de numeración es fundamental en la computación y en la teoría de números. En este artículo, abordaremos la representación numérica en distintas bases y los algoritmos aritméticos para la suma, resta, multiplicación y división en estos sistemas.
1. Representación en Diferentes Bases
Un número en una base \(b\) se expresa como:
$$ \Large N = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \dots + a_1 b^1 + a_0 b^0 $$
donde \(a_i\) son los coeficientes en el rango \(0 \leq a_i < b\).
Por ejemplo, el número \((1011)_2\) en base \(2\) representa: $$ \Large 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 11_{10} $$
1.1 Conversión de Bases
Para convertir un número decimal \(N\) a base \(b\):
- Dividir \(N\) sucesivamente por \(b\), anotando los residuos.
- El número en base \(b\) se forma con los residuos en orden inverso.
Ejemplo: Convertir \(45_{10}\) a base \(2\). $$ 45 \div 2 = 22 \text{ residuo } 1 $$ $$ 22 \div 2 = 11 \text{ residuo } 0 $$ $$ 11 \div 2 = 5 \text{ residuo } 1 $$ $$ 5 \div 2 = 2 \text{ residuo } 1 $$ $$ 2 \div 2 = 1 \text{ residuo } 0 $$ $$ 1 \div 2 = 0 \text{ residuo } 1 $$
Resultado: \( 45_{10} = 101101_2\).
2. Operaciones Aritméticas en Diferentes Bases
2.1 Suma
Se realiza como en decimal, sumando dígito a dígito y propagando el acarreo cuando sea necesario.
Ejemplo en base 3: $$ \Large \begin{array}{c} 1 2_3 \\ + 2 1_3 \\ \hline 1 0 0_3 \end{array} $$
2.2 Resta
Funciona como en decimal, aplicando préstamos cuando el minuendo es menor que el sustraendo en una posición.
Ejemplo en base 5: $$ \Large \begin{array}{c} 3 4_5 \\ – 2 3_5 \\ \hline 1 1_5 \end{array} $$
2.3 Multiplicación
Se aplica el mismo principio de la multiplicación en base 10, pero operando dentro de la base dada.
Ejemplo en base 4: $$ \Large 3_4 \times 2_4 = 6_{10} = 12_4 $$
2.4 División
El procedimiento es análogo al decimal, con divisiones y restas sucesivas en la base correspondiente.
Ejemplo en base 8: $$ \Large \begin{array}{c} 1 6_8 \div 2_8 = 7_8 \end{array} $$
Conclusión
El estudio de la aritmética en distintos sistemas de numeración es esencial en aplicaciones computacionales y en el diseño de circuitos digitales. La conversión de bases y los algoritmos de operaciones básicas permiten manejar números en cualquier sistema numérico de forma eficiente.
