Anillos y Cuerpos en Álgebra Abstracta

En álgebra abstracta, los anillos y cuerpos son estructuras algebraicas fundamentales que extienden las propiedades de los sistemas numéricos como los enteros y los números racionales.

Definición de Anillo

Un anillo \((R, +, \cdot)\) es un conjunto \(R\) con dos operaciones binarias:

1. Suma \(+\), que convierte a \((R, +)\) en un grupo abeliano. Es decir, para todos \(a, b, c \in R\):
   • \(a + b \in R\) (cerradura).
   • \((a + b) + c = a + (b + c)\) (asociatividad).
   • Existe un elemento neutro \(0\) tal que \(a + 0 = a\) (elemento identidad).
   • Para cada \(a \in R\), existe \(-a\) tal que \(a + (-a) = 0\) (elemento inverso).
   • \(a + b = b + a\) (conmutatividad).
2. Multiplicación \(\cdot\), que cumple:
   • \(a \cdot b \in R\) (cerradura).
   • \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) (asociatividad).
   • \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) y \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \) (distributividad).

Si además la multiplicación es conmutativa, es decir, \(a \cdot b = b \cdot a\), el anillo se llama conmutativo.

Si existe un elemento unidad \(1 \neq 0\) tal que \(1 \cdot a = a \cdot 1 = a \) para todo \(a \in R\), se dice que el anillo tiene unidad o identidad multiplicativa.

Ejemplos de Anillos

1. \(\mathbb{Z}\) con las operaciones habituales de suma y producto es un anillo conmutativo con identidad.
2. El conjunto de matrices \(n \times n\) con coeficientes reales \(M_n(\mathbb{R})\) es un anillo no conmutativo con identidad.
3. El conjunto de polinomios \(\mathbb{R}[x]\) con coeficientes reales forma un anillo conmutativo con identidad.

Tipos Especiales de Anillos

• Anillo sin divisores de cero: Si \(a \cdot b = 0\) implica que \(a = 0\) o \(b = 0\).
• Dominio de integridad: Un anillo conmutativo con unidad sin divisores de cero. Ejemplo: \(\mathbb{Z}\).
• Anillo de división: Un anillo en el que todo elemento distinto de cero tiene inverso multiplicativo.

Definición de Cuerpo

Un cuerpo es un anillo conmutativo con unidad donde todo elemento distinto de cero tiene inverso multiplicativo.

Formalmente, un conjunto \((K, +, \cdot)\) es un cuerpo si:

1. \((K, +)\) es un grupo abeliano.
2. \((K \setminus \{0\}, \cdot)\) es un grupo abeliano con identidad \(1\).
3. La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Ejemplos de Cuerpos

1. \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) son cuerpos con las operaciones usuales de suma y producto.
2. \(\mathbb{Z}_p\) (enteros módulo un primo \(p\)) es un cuerpo finito cuando \(p\) es primo.

Relación entre Anillos y Cuerpos

• Todo cuerpo es un dominio de integridad.
• Todo dominio de integridad se puede extender a un cuerpo de fracciones. Por ejemplo, los números racionales \(\mathbb{Q}\) son el cuerpo de fracciones de \(\mathbb{Z}\).

Aplicaciones de Anillos y Cuerpos

• Criptografía: Se usan cuerpos finitos en sistemas de cifrado como RSA y curvas elípticas.
• Teoría de códigos: Los anillos de polinomios se usan en códigos correctores de errores.
• Física cuántica: Se emplean anillos de operadores en mecánica cuántica.