En geometría, un ángulo es la medida de la abertura entre dos rectas que se intersectan en un punto común llamado vértice. Los ángulos juegan un papel fundamental en el estudio de figuras geométricas y en la resolución de problemas matemáticos.
1. Definición y Notación de un Ángulo
Un ángulo se representa mediante el símbolo \(\angle\) y se denota por tres puntos: $$ \Large \angle ABC $$
donde \(B\) es el vértice y \(A\) y \(C\) son puntos sobre los lados del ángulo.
También puede representarse con una sola letra si no hay ambigüedad: $$ \Large \angle \theta $$
Medición de Ángulos
La medida de un ángulo se expresa en:
- Grados \((^\circ)\): Un círculo completo tiene \(360^\circ\).
- Radianes: Un círculo completo equivale a \(2\pi\) radianes.
Conversión entre grados y radianes: $$ \Large 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ radianes}, \quad 1 \text{ rad} = \frac{180}{\pi}^\circ $$
2. Clasificación de Ángulos
Según su Medida
- Ángulo agudo: menor de \(90^\circ\). $$ \Large 0^\circ < \theta < 90^\circ $$
- Ángulo recto: exactamente \(90^\circ\). $$ \Large \theta = 90^\circ $$
- Ángulo obtuso: mayor de \(90^\circ\) pero menor de \(180^\circ\). $$ \Large 90^\circ < \theta < 180^\circ $$
- Ángulo llano: exactamente \(180^\circ\). $$ \Large \theta = 180^\circ $$
- Ángulo cóncavo: mayor de \(180^\circ\) pero menor de \(360^\circ\). $$ \Large 180^\circ < \theta < 360^\circ $$
- Ángulo completo: exactamente \(360^\circ\). $$ \Large \theta = 360^\circ $$
Según la Relación entre Ángulos
- Ángulos complementarios: Dos ángulos cuya suma es \(90^\circ\). $$ \Large \alpha + \beta = 90^\circ $$
- Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es \(180^\circ\). $$ \Large\alpha + \beta = 180^\circ $$
- Ángulos adyacentes: Dos ángulos que comparten un lado y su suma es \(180^\circ\).
- Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos formados por dos rectas que se cruzan, teniendo igual medida.
3. Ángulos en la Geometría Euclidiana
Los ángulos son fundamentales en figuras geométricas como triángulos y polígonos. Algunas propiedades importantes incluyen:
- Suma de ángulos internos de un triángulo: $$ \Large \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $$
- Ángulos internos de un polígono de nn lados: $$ \Large S = (n-2) \times 180^\circ $$
- Ángulos externos de un polígono: Su suma es siempre \( 360^\circ \).
Conclusión
El estudio de los ángulos es esencial en geometría, álgebra y cálculo. Su comprensión permite analizar la estructura de figuras geométricas, resolver problemas trigonométricos y comprender fenómenos físicos y de ingeniería.