La geometría computacional estudia algoritmos para resolver problemas geométricos, con aplicaciones en computación gráfica, diseño asistido por computadora, robótica y ciencias de la computación. A continuación, se presentan algunos algoritmos fundamentales en este campo.
1. Algoritmo de la Envoltura Convexa
Dado un conjunto de puntos en el plano, la envoltura convexa es el menor polígono convexo que los contiene. Existen varios algoritmos para su cálculo, entre ellos:
- Algoritmo de Graham: Ordena los puntos por ángulo polar y los procesa en tiempo \(O(n \log n)\).
- Algoritmo de Jarvis (Marcha de la Cuerda): Selecciona puntos sucesivos de la envoltura convexa en \(O(nh)\), donde \(h\) es el número de puntos en la envoltura.
2. Intersección de Segmentos
Determinar si dos segmentos se intersectan es fundamental en sistemas de colisiones y gráficos computacionales. Se basa en la orientación de los puntos usando el determinante:
$$ \Large \det \begin{bmatrix} x_2 – x_1 & x_3 – x_1 \\ y_2 – y_1 & y_3 – y_1 \end{bmatrix} $$
Si el resultado es positivo o negativo, indica la dirección de la rotación.
3. Triangulación de un Polígono
Dividir un polígono en triángulos facilita su manipulación. El algoritmo de triangulación de Ear Clipping funciona en \(O(n^2)\), mientras que métodos avanzados como la triangulación de Delaunay operan en \(O(n \log n)\).
4. Algoritmo de Voronoi y Diagramas de Voronoi
Los diagramas de Voronoi dividen el espacio en regiones en función de la distancia a un conjunto de puntos. Se generan eficientemente con el algoritmo de Fortune, de complejidad \(O(n \log n)\).
5. Algoritmo del Camino Más Corto (Dijkstra sobre Gráficos Geométricos)
Dado un conjunto de obstáculos, calcular la ruta más corta en un entorno 2D es esencial en navegación y robótica. La generalización de Dijkstra sobre un grafo de visibilidad permite resolver este problema en \(O(n^2)\).
Conclusión
Los algoritmos geométricos son herramientas fundamentales en la geometría computacional y continúan evolucionando con el desarrollo de nuevas aplicaciones y optimizaciones.